Equation x² = a

Propriété

On souhaite résoudre une équation du type \(x^2=a\) , où \(a\in\mathbb{R}\). Les solutions de cette équation dépendent du signe de \(a\).

• Si \(a<0\) alors l'équation n'a pas de solution réelle.
  
• Si \(a=0\) alors l'équation admet une seule solution qui est le nombre \(0\).
• Si \(a>0\) alors l'équation admet deux solutions opposées qui sont \(-\sqrt a\) et \(\sqrt a\).
  

Démonstration

• Si \(a<0\).
  Dans l'ensemble des nombres réels, un carré est toujours positif ou nul.
  Donc lorsque \(a<0\), il n'existe aucun nombre réel vérifiant \(x^2=a\).
  L'équation \(x^2=a\) n'a pas de solution réelle. On écrit : \(\mathscr{S}=\emptyset\).
• Si \(a=0\). L'équation devient \(x^2=0\).
  Le seule nombre réel ayant un carré égal à \(0\) est \(0\).
  Donc \(\mathscr{S}=\{0\}\).
• Si \(a>0\).
  \(a>0\) donc \(\sqrt a\) existe.
  On obtient une équation produit. Ainsi :
  \(x^2=a \Leftrightarrow x-\sqrt a=0\;\text{ou}\;x+\sqrt a=0\Leftrightarrow x=\sqrt a\;\text{ou}\;x=-\sqrt a\).
  Donc \(\mathscr{S}=\{-\sqrt a;\sqrt a\}\).

Remarque

Ne pas confondre \(\mathscr{S}=\{0\}\) qui signifie que l'ensemble des solutions est constitué du seul nombre \(0\) (c'est-à-dire du singleton \(0\)) et \(\mathscr{S}=\emptyset\) qui signifie que l'ensemble des solutions est vide.

Exemples

1. Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(x^2=64\). 
On a \(a=64\) donc \(a>0\).
Les solutions de l'équation sont \(-\sqrt{64}=-8\) et \(\sqrt{64}=8\)
\(\mathscr{S}=\{-8;8\}\).

2. Résolvons dans \(\mathbb{R}\) l'équation\(\; x^2=-4\) .
On a \(a=-4\) donc \(a<0\).
L'équation n'a pas de solution réelle.
\(\mathscr{S}=\emptyset\).